Bayesian inference for prevalence and diagnostic test by Hanson T.E., Johnson W.O.

By Hanson T.E., Johnson W.O.

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3 EXEMPLE PHYSIQUE Pour montrer 1'importance de ce type de problemes, non seulement pour la statistique mais egalement pour la physique en general prenons un exemple illustratif. II s'agit d'une collision elastique entre deux corps (deux particules) de meme masse m. D'apres les principes bien connus de la mecanique, nous savons que le mouvement des deux corps est la resultante du mouvement du centre de masse et du mouvement relatif par rapport a ce centre. Habituellement, on introduit un systeme des coordonnees correspondant au centre de masse car c'est dans ce referentiel que la description theorique de 1'interaction entre les deux corps est la plus simple.

Nous laissons cet exercice au lecteur. I - RAPPELS SUR LA THEORIE DBS PROBABILITES 47 Rappelons que, pour la distribution de Poisson (36), la probabilite de trouver n evenernents dans un intervalle donne est egale a Augmentons la valeur du parametre //. Les nombres d'evenements HQ pour lesquels les probabilites P^(UQ} sont sensiblement differentes de zero doivent etre proches de la valeur // ; ainsi nous considerons la limite n » 1 pour laquelle nous pouvons utiliser la formule de Stirling donnant n\ et ecrire la probabilite P^(n) sous la forme Pour simplifier cette expression dans la limite p,n » 1, utilisons une approche assez connue dite "methode du col".

Nous pouvons generaliser les resultats (49) et (50) au cas de plusieurs variables. Soit une fonction de n variables. Pour abreger, utilisons des notations "vectorielles" : ici Developpons la fonction en serie de Taylor au voisinage de x = jl. Au premier ordre, on obtient : Cette expression donne pour la valeur moyenne II — FONCTIONS D'UNE VARIABLE ALEATOIRE 53 et pour la variance : Supposons que les variables xi soient independantes (nous verrons dans ce chapitre le cas plus general sans cette hypothese supplementaire).

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